Werbung machen + für
= promote / advertise
The most common way of expressing to promote/to advertise
Can be used with or without an object. If an object is involved, then the preposition für is essential.
e.g.
Wir sollten mehr Werbung für unser Produkt machen.
or
Lasst uns nächsten Monat richtig viel Werbung machen.
werben + für
= to promote / advertise
Must (!) be used with the preposition für + an object
Wir sollten mehr für unser Produkt werben.
etwas bewerben
= to promote something
Must be used with a direct object, e.g.
Wir sollten unser Produkt gezielt bewerben.
!!! Probably closest to English but not very common at all in German.
Werbung machen (für) or werben für would in most cases be the more natural choice.
!!! Not to be confused with sich bewerben (=to apply for a job/a position)
So the overall verdict for this one is: not very common, lots of potential for confusion, probably not very useful…
befördern
= to promote to a higher-level (job) position, e.g.
Wir sollten Frau Meier zur Chefin befördern, sie ist unsere beste Mitarbeiterin.
!!! completely different in meaning to the other three examples discussed here.