nutzen
= to use in the generic sense, to make (best) use of
e.g. das Angebot nutzen, soziale Medien für Werbung nutzen
benutzen
= to use a concrete object/a technique,
e.g.
Ich benutze für diese Aufgabe einen Taschenrechner. Darf ich Ihre Toilette benutzen?
= to apply a specific strategy, similar in use to anwenden
e.g.
Hier muss eine neue Strategie benutzt werden.
= to use a person (negative sense!)
e.g. Du hast mich nur benutzt!
ausnutzen
= to take advantage of
often used in a negative sense
e.g.
Er nutzt seine Freunde aus.
Sie haben meine Gastfreundschaft ausgenutzt!
ausnutzen can have positive connotations too
e.g.
Das ist ein tolles Angebot, wir sollten es ausnutzen.